星型网络下量子态的制备

发布时间: 周三, 07/19/2017 - 14:37
来源: 
四川师范大学, 数学与软件科学学院, 成都,610066
论文作者: 
王小宇, 莫智文
简介: 
提出一种在量子星型网络情形下, 用户之间利用部分纠缠态实现未知单粒子态远程制备. 首先每个用户节点都与中央处理器共享足够多的纠缠态, 各用户之间没有彼此纠缠, 但是可以通过纠缠变换的方式构建量子信道. 然后在辅助粒子和适当的酉变换以及单粒子测量的帮助下, 任意两用户之间能够以某种概率实现任意单粒子态远程制备. 当且仅当共享的纠缠态为最大纠缠时, 可以实现制备的概率为1.
论文作者: 
王小宇, 莫智文
发布者: 每日科学
正文: 

Remote state preparation for star network
WANG Xiao-Yu, MO Zhi-Wen
College of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Chengdu, 610066
Abstract: A scheme for probabilistic remote state preparation of an arbitrary unknown
state was proposed for star network. User and central processing unit share partially
entangled states. Two distant user nodes do not initially share entanglement with each other.
The required entanglement among user nodes is established through entanglement swapping
based on partially entangled states. With the help of auxiliary qubits and appropriate unitary
transformation and single-qubit measurement, arbitrary two users can finish remote state
preparation with certain probability. If and only if the entangled states is maximally
entangled, the probability of preparation can reach 1.
Key words: quantum entangled state; entanglement swapping ;star network
0 引言
在量子信息科学中, 量子纠缠 [1] 扮演着极其重要的角色, 被广泛运用在量子通信, 量子密码,
量子密集编码等领域. 其中一个重要应用就是量子隐形传态, 它是由Bennet [2] 等人在1993 年提
出来的. 通过事先共享的EPR 对作为量子信道和经典通信, 发送者可以将一个未知量子态远程
传输给接收者. 随后量子纠缠又被应用到一个新的领域, 它是由Lo [3] 等人在2000 年提出的量子
远程制备, 基于相同的量子纠缠信道, 利用更少的经典通信传送一个半未知的量子比特. 与隐
形传态不同的是远程制备中发送方知道量子态, 但是不拥有此态, 而在隐形传态中发送方拥有
却可以不知道此态.目前为止, 研究者已经提出了许多不同的制备的方案, 比如, 单粒子态制
备 [3−5] , 多粒子态制备 [6−8] 等. 这些方案都只有一个发送方, 因此一种新的制备方案联合量子态
制备 [9−11] 被提出来了, 它是指发送者为两个或两个以上, 并且需要制备态的信息被秘密分配给
这些发送方. 部分发送者是不能恢复制备态完整信息的, 这样就避免信息被泄露.
随后在2009, Wang等人介绍了关于受控远程量子态制备 [12] 的方案, 该方案只有在控制方
的允许条件下完成相应操作制备才能成功. 2014年Cao提出了双向受控远程量子态制备 [13−16] 概
念. 制备双方与远程控制方共享五粒子cluster态, 在控制方同意的情况下, 才能以概率1 实现量
子态相互交换. 方案中采用的量子信道是一个非最大纠缠态, 我们知道最大纠缠态是很难制备
的, 它会受环境消相干影响退化为部分纠缠. 随后, 2015年Chen [17] 等人利用部分纠缠态实现地
面到卫星的量子隐形传态. 该方案没有涉及到量子态制备的情况. 结合以上这些情况, 本文提出
了一种在星型网络 [18] 情形下, 以一定概率实现任意单粒子未知态的远程制备的方案. 文中考虑
每个用户都与中央处理器共享足够多的部分纠缠态, 通过量子测量以及经典通信和相应的变换
完成远程量子态单向制备和双向制备.

1 纠缠交换以及网络模型
在这一部分, 首先简单介绍Bell纠缠态, Bell态的基本形式如下:
|Φ ± i =
1
√ 2 (|00i ± |11i),|Ψ ± i =
1
√ 2 (|01i ± |10i). (1)
它们可以通过适当的幺正变换进行相互转换, 比如
|Φ + i = I ⊗ σ x |Ψ + i = I ⊗ iσ y |Ψ − i = I ⊗ σ z |Φ − i (2)
其中
σ x =
0 1
1 0
!
,σ y =
0 −i
i 0
!
,σ z =
1 0
0 −1
!
,I =
1 0
0 1
!
. (3)
由于在实际通信中, Bell纠缠态会受环境消相干影响退化为部分纠缠态, 可以表示成:
|Γi = α|00i + β|11i. (4)
其中α,β均为实数, 且满足α 2 + β 2 = 1,α > β. 若α = β =
1
√ 2 , 则该纠缠态为 Bell 态.
纠缠交换是量子纠缠的的一个特性, 实际上是指在不同的粒子之间通过测量交换纠缠. 最
大纠缠态会受环境消相干影响退化为部分纠缠, 所以在这里我们考虑如下两对部分纠缠态来进
行说明
|Γi 1a = α|00i + β|11i,|Γi 2b = α|00i + β|11i. (5)
其中α,β均为实数, 且满足α 2 + β 2 = 1,α ≥ β. 纠缠交换可以表示成
|Γi 1a ⊗ |Γi 2b =
p α 4
+ β 4
√ 2 (|Φ + i 12 ⊗ |φ + i ab + |Φ − i 12 ⊗ |φ − i ab )
+αβ(|Ψ + i 12 ⊗ |Ψ + i ab + |Ψ − i 12 ⊗ |Ψ − i ab )
(6)其中
|φ ± i ab =
α 2 |00i ± β 2 |11i
p α 4
+ β 4
(7)
也就是说, 系统初态粒子(1,a)是纠缠的, 粒子(2,b) 是纠缠的, 当我们对粒子(1, 2) 做了Bell 基
测量之后, 系统就变成了粒子(a,b)之间的纠缠, 并且将以 α
4 +β 4
2
的概率坍缩为部分纠缠态|φ ± i ab ,
α 2 β 2 的概率坍缩为Bell 态|Ψ ± i ab .
为了描述星型网络的量子态制备过程, 我们构建如图所示的星型网络模型. 星型网络是用
一个量子中心处理器作为中心节点, 其用户节点直接与中心节点相连. 用户节点之间没有链接.
中心节点负责提供和分发纠缠量子态. 可以根据网络需求增加用户, 实现多方通信. 我们假设中
心节点与用户节点共享足够多的部分纠缠态|Γi.

2 实现星型网络下量子态的制备方案
2.1 任意单粒子态的单向制备
首先考虑星型网络中单粒子态的单向制备. 假设发送者Alice 想帮助接收者Bob在远方制备
单粒态
|ξi = a 0 |0i + a 1 |1i. (8)
其中系数a 0 ,a 1 均为非零实数, 且满足a 2
0 + a
2
1 = 1. 该系数Alice知道, 但是Bob 不知道. 中心节点
分别与Alice 和Bob共享纠缠态
|Γi 1a = α|00i + β|11i
|Γi 2b = α|00i + β|11i
(9)
其中粒子1, 2属于中央节点, 粒子a属于Alice, 粒子b 属于Bob. 整个系统状纠缠态为
|Ωi = |Γi 1a ⊗ |Γi 2b (10)

首先中央节点对自己的粒子(1, 2)作Bell基测量, 并将结果告诉Bob, Bob根据测量结果对粒子b做
相应的幺正变换如表1所示. 粒子a,b 将坍缩为4 种形式之一, 可见等式5. 由于当α = β =
1
√ 2 时,
|φ + i = |Φ + i = I ⊗ iσ y |Ψ − i, 所以在这里我们只考虑粒子a,b 以 α
4 +β 4
2
的概率坍缩后状态为|φ + i
的情况. 变换后系统纠缠态为
|φ + i ab =
α 2 |00i + β 2 |11i
p α 4
+ β 4
= x|00i + y|11i (11)
其中
x =
α 2
p α 4
+ β 4
,y =
β 2
p α 4
+ β 4
. (12)
表 1: 测量结果以及对应幺正变换
测量结果 幺正变换
|Φ + i I
|Φ − i σ z
|Ψ + i σ x
|Ψ − i iσ y
由于Alice知道系数a 0 ,a 1 , 她可以用这些系数所构成的基对粒子a 做测量, 并将测量结果告
诉给Bob. 测量基如下
|µ 0 i a = a 0 |0i + a 1 |1i,|µ 1 i a = a 1 |0i − a 0 |1i. (13)
对应测量结果为
|χ 0 i b = a 0 x|0i + a 1 y|1i,|χ 1 i b = a 1 x|0i − a 0 y|1i. (14)
假设Alice测量结果为|µ 0 i a , Bob引入一个初始态为|0i m 的辅助粒子m, |χ 0 i bm = a 0 x|00i +
a 1 y|10i, 并对所拥有的粒子(b,m)进行U 1 变换
U 1 =



y
x
q
1 −
y 2
x 2
0 0
q
1 −
y 2
x 2
− y
x
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



. (15)
在U 1 变换下, 系统将演变为如下形式
|χ 0 i bm = y(a 0 |0i + a 1 |1i) ⊗ |0i m + a 0 x
r
1 −
y 2
x 2
|0i ⊗ |1i m
(16)
Bob对辅助粒子m进行|0i,|1i基测量, 如果测量结果是|0i m , 那么粒子b将会以概率为 α
4 +β 4
2
× y 2
坍缩为a 0 |0i + a 1 |1i, 即完成制备. 如果测量结果是 |1i m , 则该量子态制备失败, 即协议失败.

假设测量结果为|µ 1 i a , 根据同样的方法我们将以概率为 α
4 +β 4
2
× y 2 完成制备. 若我们考虑粒
子a,b 坍缩后状态为|Ψ ± i 时, 我们将以概率α 2 β 2 完成制备. 总结所以情况完成任意单粒子态制
备的概率为( α
4 +β 4
2
) × 2y 2 × 2 + α 2 β 2 × 1 × 2 = 2β 2 . 当α = β =
1
√ 2 时, 成功实现量子态制备的
概率为1.
2.2 任意单粒子态的双向制备
假设Alice 想要远程制备一个任意单粒子态 |ξi 1 给 Bob, 同时 Bob 也要远程制备另一个单
粒子态 |ξi 2 给 Alice, 其形式分别如下:
|ξi 1 = a 0 |0i + a 1 |1i,
|ξi 2 = b 0 |0i + b 1 |1i.
(17)
其中系数a 0 ,a 1 ,b 0 ,b 1 均为实数, 且满足a 2
0 + a
2
1 = 1, b
2
0 + b
2
1 = 1. Alice只知道系数a 0 ,a 1 , Bob 只
知道系数b 0 ,b 1 . 中心节点分别与Alice和Bob共享两对纠缠态
|Γi 1a = α|00i + β|11i,|Γi 2b = α|00i + β|11i,
|Γi 3m = α|00i + β|11i,|Γi 4n = α|00i + β|11i.
(18)
其中粒子1, 2, 3, 4属于中央节点, 粒子a,n属于Alice, 粒子b,m 属于Bob.
整个系统状纠缠态为
|Ωi = |Γi 1a ⊗ |Γi 2b ⊗ |Γi 3m ⊗ |Γi 4n (19)
首先中心节点对自己的粒子(1, 2), (3, 4)作Bell基测量. 并将结果通过经典信道告诉给通信双方,
Alice(Bob)根据测量结果对粒子n(b) 做相应的幺正变换, 如表1所示. 测量后粒子a,b,m,n 将坍
缩为16 种形式之一.
|φ ± i ab ⊗ |φ ± i mn ,|φ ± i ab ⊗ |Ψ ± i mn ,
|Ψ ± i ab ⊗ |φ ± i mn ,|Ψ ± i ab ⊗ |Ψ ± i mn .
(20)
假设双方作变换后系统纠缠态为
|Λi = |φ + i ab ⊗ |φ + i mn = (x|00i + y|11i) ab ⊗ (x|00i + y|11i) mn (21)
首先由于Alice知道系数a 0 ,a 1 , 她可以用这些系数所构成的基对粒子a做测量. 测量基如下
|µ 0 i a = a 0 |0i + a 1 |1i,|µ 1 i a = a 1 |0i − a 0 |1i. (22)
Bob知道系数b 0 ,b 1 , 他可以用这些系数所构成的基对粒子m 做测量. 测量基如下
|ν 0 i m = b 0 |0i + b 1 |1i,|ν 1 i m = b 1 |0i − b 0 |1i. (23)
双方完成测量后, 将结果通过经典信道告诉给对方, 对方再根据测量结果作适当的酉变换, 见
表2.

表 2: Bob 和 Alice 测量结果以及 Bob 和 Alice 对应酉变换
Bob, Alice测量结果 Bob, Alice 所做酉变换
|ν 0 i,|µ 0 i I ⊗ I
|ν 1 i,|µ 0 i I ⊗ iσ y
|ν 0 i,|µ 1 i iσ y ⊗ I
|ν 1 i,|µ 1 i iσ y ⊗ iσ y
测量后系统将坍缩为以下4种情况之一:
(a 0 x|0i + a 1 y|1i) b ⊗ (b 0 x|0i + b 1 y|1i) n
(a 0 x|0i + a 1 y|1i) b ⊗ (b 1 x|0i − b 1 y|1i) n
(a 1 x|0i + a 0 y|1i) b ⊗ (b 0 x|0i + b 1 y|1i) n
(a 1 x|0i − a 0 y|1i) b ⊗ (b 1 x|0i − b 0 y|1i) n
(24)
假设测量结果为|µ 1 i a |ν 1 i m , Alice, Bob 分别对粒子n,b 作iσ y 变换, 再各引入一个初始态
为|0i 的辅助粒子n 1 ,b 1 , 此时系统状态为(a 0 y|00i + a 1 x|10i) bb 1 ⊗ (b 0 y|00i + b 1 x|10i) nn 1 , 并分别
对所拥有的粒子(b,b 1 ), (n,n 1 )进行U 2 变换
U 2 =



1 0 0 0
0 1 0 0
0 0
y
x
q
1 −
y 2
x 2
0 0
q
1 −
y 2
x 2
− y
x



. (25)
在U 2 变换下, 系统将演变为如下形式[y(a 0 |0i+a 1 |1i)⊗|0i b 1 +a 1 x
q
1 −
y 2
x 2 |0i b ⊗|1i b 1 ]⊗[y(b 0 |0i+
b 1 |1i) ⊗ |0i n 1 + b 1 x
q
1 −
y 2
x 2 |0i n
⊗ |1i n 1 ].
Alice和Bob对辅助粒子n 1 ,b 1 进行|0i,|1i 基测量, 如果测量结果是|0i n , |0i b 1 那么粒子b
将会坍缩为a 0 |0i + a 1 |1i, 粒子n 将会坍缩为b 0 |0i + b 1 |1i, 即完成量子态双向制备且概率
为4 ×
(α 4 +β 4 ) 2
4
× 4 × y 2 × y 2 = 4β 8 . 如果测量结果为 |0i n 1 |1i b 1 , |1i n 1 |0i b 1 , |1i n 1 , |1i b 1 , 则双
向制备失败. 若双方作变换后系统纠缠态为其他组合情形, 运用同样的方法也可以以一定概率
完成量子态双向制备, 对应概率参见表3.
表 3: 不同情形下完成制备概率
变换后系统纠缠态 成功概率
|φ + i ab ⊗ |φ + i mn 4β 8
|φ + i ab ⊗ |Φ + i mn 4α 2 β 6
|Φ + i ab ⊗ |φ + i mn 4α 2 β 6
|Φ + i ab ⊗ |Φ + i mn 4α 4 β 4

总结所以情况完成任意单粒子态制备的概率为4β 8 + 4α 2 β 6 + 4α 2 β 6 + 4α 4 β 4 = 4β 4 .当α =
β =
1
√ 2 时, 实现任意单量子态制备的概率为1.
3 结论
本文给出了一种在星型量子网络下, 任意通信双方利用部分纠缠态实现未知单粒子态制备.
制备双方Alice和Bob分别与中央处理器共享足够多部分纠缠态, 中央处理器对自己的粒子做测
量, 通过纠缠变换使得通信双方共享纠缠态. 对于单向制备的情况, Alice只需做一次单粒子测量
并将结果告诉Bob, Bob引入辅助粒子完成相应的酉变换即可实现. 对于双向制备的情况, 双方
都需做一次单粒子测量并将结果告诉对方, 各自引入辅助粒子完成相应的酉变换即可实现. 当
且仅当共享的纠缠态为最大纠缠时, 能够实现制备的概率为1.

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